Множина. Її елементи Поняття множини є первинним поняттям математики, якому не дається означення



Дата конвертації03.06.2016
Розмір762 b.





Множина. Її елементи

  • Поняття множини є первинним поняттям математики, якому не дається означення.

  • Множину можна уявити, як сукупність зібрання деяких предметів, об’єднаних за певною характеристичною ознакою.







Порівняння множин



Поняття підмножини

  • Якщо кожен елемент множини А є елементом іншої множини В, то кажуть, що А є підмножиною В і записують: , якщо при цьому допускається, що множина А включає у себе всі елементи множини В, то записують .

  • Таким чином:



Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).

  • Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).



Множини бувають скінченними і нескінченними.

  • Множини бувають скінченними і нескінченними.

  • Скінченна множина містить певну кількість елементів.

  • Наприклад:

  • А={1; 5; 8; 17}.

  • B - множина учнів в класі.

  • Нескінченна множина містить безліч елементів. Наприклад:

  • N, Z, Q, I, R, C.

  • B - множина точок на прямій.



Перетин (переріз, добуток) множин

  • Перетином множин А і В називається множина С , що складається з усіх тих і лише тих елементів, які входять до складу кожної з даних множин А і В і є спільною частиною множин А і В.



Об’єднання (сума) множин

  • Об’єднанням двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В і лише з них.



Різниця множин

  • Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В.



Завдання з теми “Множини”

  • A={1;5;8;15}; B={3;5;7;15;18}; C=AUB; D=AB

  • Знайдіть C і D.

  • 2. Чи існують такі множини А, В і С, для яких виконуються усі 3 умови AB≠Ø; AC=Ø; (AB)\C=Ø.

  • 3. A={3;19;125}; B={7;13;125}; C=AB; Зі скількох елементів складається множина С.

  • 4. A={хліб, молоко, цукерки, печиво, кава} – множина товарів у магазині.

  • В1={масло, печиво, цукор} – множина товарів, які хоче придбати перший покупець.

  • В2={молоко, хліб, печиво} – множина товарів, які хоче придбати другий покупець.

  • Який із двох покупців зможе задовольнити свої потреби у магазині?

  • 5. Яка із множин A={1; 3.5; 9;}; B={1;7;8;9;19}; C={-1; 0; 7; 8; 15;} є підмножиною множини натуральних чисел N.

  • 6.А- множина квадратів усіх цілих чисел. Які із чисел 1; 16; 5; -4; 0.3; 8; 25 є елементами цієї множини.

  • Нехай А – множина коренів рівняння х2 − 3х + 2 = 0 , а В = {0; 2}.

  • Знайти AB, АUВ.

  • 8. Яка із двох множин є підмножиною іншої (Q≠Ø):

  • а) Р та РQ ;

  • б) Р та PUQ .







При розв’язуванні багатьох практичних задач доводиться вибирати з деякої сукупності об’єктів елементи, що мають ту або іншу властивість, розміщуватися ці елементи в певному порядку, з’ясовувати скількома способами можна це зробити і т.ін. оскільки в таких задачах мова іде про ті або інші комбінації об’єктів то такі задачі називають комбінаторними.

  • При розв’язуванні багатьох практичних задач доводиться вибирати з деякої сукупності об’єктів елементи, що мають ту або іншу властивість, розміщуватися ці елементи в певному порядку, з’ясовувати скількома способами можна це зробити і т.ін. оскільки в таких задачах мова іде про ті або інші комбінації об’єктів то такі задачі називають комбінаторними.

  • Розділ математики, в якому вивчають комбінаторні задачі, називають комбінаторикою. У комбінаториці розглядається вибір і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.



В основі розв’язування багатьох комбінаторних задач лежать два основних правила – правило суми і правило добутку.



У загальному вигляді має місце таке твердження:

  • У загальному вигляді має місце таке твердження:

  • Якщо елемент множини А можна вибрати m способами, а елемент множини В – n способами, то елемент множини А або В можна вибрати m+n способами.



Правило добутку

  • В загальному вигляді має місце таке твердження:

  • Якщо елемент множини А можна вибрати m способами, а після цього елемент множини В – n способами, то А і В можна вибрати (m ∙ n) способами.



Повторюючи наведені міркування декілька разів, одержуємо, що правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів.

  • Повторюючи наведені міркування декілька разів, одержуємо, що правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів.

  • Отже, якщо доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д. елемент, способи вибору кожного елементу додають, а коли доводиться вибирати набір у який входить і один, і другий, і третій, і т. д. елемент, способи вибору перемножують.



У комбінаториці розглядається вибір і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.

  • У комбінаториці розглядається вибір і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.



Впорядкована множина

  • Множина, кожному елементу якої поставлений у відповідність певний номер називаеться впорядкованою.

  • Будь-яку впорядковану множину, що містить більше одного елемента можна впорядкувати декількома способами.

  • Впорядковані множини вважаються різними, якщо вони складаються з різних елементів або мають різний порядок одних і тих же елементів.

  • Різні впорядковані множини, що відрізняються лише порядком елементів (тобто можуть бути отримані з однієї множини) називаються перестановками цієї множини.



Перестановки



Розміщення



Сполучення



Вибір формули

  • Чи враховується порядок?(Чи є множина впорядкованою?)



Біном Ньютона



Комбінаторика – розділ дискретної математики, присвячений розв’язанню задач про вибір та розміщення елементів скінченної множини, згідно з заданими правилами, для створення певних комбінаторних конфігурацій.

  • Комбінаторика – розділ дискретної математики, присвячений розв’язанню задач про вибір та розміщення елементів скінченної множини, згідно з заданими правилами, для створення певних комбінаторних конфігурацій.



В основі розв’язування багатьох комбінаторних задач лежать два основних правила – правило суми і правило добутку.



Правило суми стверджує:

  • Правило суми стверджує:

  • якщо множина А складається з n елементів, а множина В з k, то вибрати елемент множини А або В можна n+k способами.



Правило добутку

  • Правило добутку стверджує:

  • Якщо елемент множини А можна обрати n способами, а елемент множини В – k способами, то існує n∙k способів сформувати комбінацію з двох елементів, взявши один із них з множини А, а другий з множини В.



Повторюючи наведені міркування декілька разів, одержуємо, що правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів.

  • Повторюючи наведені міркування декілька разів, одержуємо, що правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів.

  • Отже, якщо доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д. елемент, способи вибору кожного елементу додають, а коли доводиться вибирати набір у який входить і один, і другий, і третій, і т. д. елемент, способи вибору перемножують.



У комбінаториці розглядається вибір і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.

  • У комбінаториці розглядається вибір і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.



Впорядкована множина

  • Множина, кожному елементу якої поставлений у відповідність певний номер називаеться впорядкованою.

  • Будь-яку впорядковану множину, що містить більше одного елемента можна впорядкувати декількома способами.

  • Впорядковані множини вважаються різними, якщо вони складаються з різних елементів або мають різний порядок одних і тих же елементів.

  • Різні впорядковані множини, що відрізняються лише порядком елементів (тобто можуть бути отримані з однієї множини) називаються перестановками цієї множини.



Перестановки

  • Перестановки множини А (позначається Pn) – це множини, що складаються з тих самих елементів, що й А, але розставлених у різному порядку.



Розміщення

  • Будь-яка впорядкована підмножина з k елементів даної n-елементної множини називається розміщенням з n елементів по k.



Сполучення

  • Сполученням з n елементів по k називається будь-яка невпорядкована, k - елементна підмножина даної n - елементної множини.



Біном Ньютона



Тести



Тести

  • Скількома способами можна вибрати трьох чергових з групи в 20 чоловік?



Тести

  • Скількома способами можна вісім учнів вишикувати в колону по одному?



Тести



Тести

  • Маємо чотири різні конверти без марок і 3 різні марки. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для відправки листа?



Тести

  • Многочлен x4+8x3+24x2+32x+16 є біномінальним розкладом степеня



Тести

  • Скільки різних звукосплучень можна взяти на десяти вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукосполучення може містити від трьох до десяти звуків?



Тести

  • Скількома способами можна розмістити на шаховій дошці дві тури, щоб одна не змогла побити іншу? (одна тура може побити іншу, якщо вони знаходяться з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахової дошки).



Тести

  • Учасники шахового турніру грають в залі, де є 8 столиків. Скількома способами можна розмістити шахістів, якщо учасники всіх партій відомі?



Тести

  • Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких прості числа, не більші за 20?



Тести

  • Яку мінімальну кількість елементів повинна містити множина, щоб число усіх перестановок з елементів цієї множини було не менше 500?



Тести

  • Знайдіть показник степеня бінома, якщо шостий член розкладу (a-3/4-a-3/5)n не залежить від a.



Дякуємо за увагу!




База даних захищена авторським правом ©pres.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка