Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури. Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури



Дата конвертації05.01.2017
Розмір445 b.



Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури.

  • Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури.

  • Усні вправи.

  • Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямої.

  • Усні вправи.

  • Поворот.

  • Паралельне перенесення.

  • Усні вправи.

  • Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур.

  • Гомотетія.

  • Усні вправи.

  • Література



Будь-яку геометричну фігуру можна розглядати як множину точок: наприклад, на площині коло є множиною всіх точок, рівновіддалених від даної точки. Крім того, між точками двох геометричних фігур можна встановити відповідність.

  • Будь-яку геометричну фігуру можна розглядати як множину точок: наприклад, на площині коло є множиною всіх точок, рівновіддалених від даної точки. Крім того, між точками двох геометричних фігур можна встановити відповідність.

  • Фігура F’ називається образом фігури F для даного перетворення.



  • Властивості

  • Два послідовні переміщення знову дають переміщення.

  • Перетворення обернене до переміщення, також є переміщенням.



Доведення

  • Доведення

  • Нехай на прямій АС точка В лежить між точками А і С, а точки А’, В’ і С’ – образи точок А, В і С, отримані в результаті переміщення (рис.). Доведемо, що точка В’ лежить на прямій А’С’ між точками А’ і С’.

  • Якщо точка В лежить між точками А і С, то за аксіомою вимірювання відрізків АС=АВ+ВС. За означенням переміщення АС=А’С’, АВ=А’В’, ВС=В’С’, отже, А’С’=А’В’+В’С’. За наслідком нерівності трикутника це означає, що точка В’ лежить на прямій А’С’ між точками А’ і С’, тобто точки А’, В’ і С’ лежать

  • на одній прямій.

  • Теорему доведено.



Наслідки:

  • Наслідки:

    • Унаслідок переміщення прямі переходять у прямі, промені –у промені, відрізки – у відрізки.
    • Унаслідок переміщення зберігаються кути між променями.
    • ТЕОРЕМА (про зв’язок переміщення і накладання)
  • Будь-яке накладання є переміщенням, і навпаки: будь-яке переміщення є накладанням.

  • Наслідок

  • Рівні фігури переводяться одна в одну переміщенням, і навпаки: під час переміщення будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру.



Чи може переміщення переводити:

  • Чи може переміщення переводити:

  • А) сторону паралелограма в протилежну сторону?

  • Б) одну з основ трапеції в іншу?

  • В) один із кутів при основі рівнобедреного трикутника в інший?

  • Г) один із кутів різностороннього трикутника в інший?



№1

  • №1

  • Відрізок АС і його середина В

  • внаслідок переміщення переходять

  • У відрізок А’C’ і точку B’ відповідно.

  • Знайдіть довжину відрізка А’С’, якщо

  • АВ=30см.

  • №2

  • Під час переміщення чотирикутника АВСД отримали квадрат А’В’С’Д’. Визначте довжину діагоналі ВД, якщо А’С’=4см.



Симетрія (від грецького “симетріа”) – узгодженість розмірів, однаковість у розміщенні частин.

  • Симетрія (від грецького “симетріа”) – узгодженість розмірів, однаковість у розміщенні частин.

  • Симетрію відносно точки також називають центральною симетрією.



Симетрія відносно точки

  • Симетрія відносно точки

  • Перетворення симетрії відносно точки О називають таке перетворення фігури F у фігуру F’ , унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х’ фігури F’ симетричну точці Х відносно точки О. При цьому фігури F i F’називають симетричними відносно точки О.

  • Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то така фігура називається центрально-симетричною, а точка О – центром симетрії фігури F.



Нехай унаслідок центральної симетрії відносно точки О точки X і Y переходять у точки Х’ і Y’ відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис.) коли точки О, Х і Y не лежать на одній прямій. Трикутники ХОY і Х’О’Y’ рівні за першою ознакою, отже, ХY=Х’Y’. Таким чином, центральна симетрія зберігає відстань між точками, отже, є переміщенням. Теорема доведена.

  • Нехай унаслідок центральної симетрії відносно точки О точки X і Y переходять у точки Х’ і Y’ відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис.) коли точки О, Х і Y не лежать на одній прямій. Трикутники ХОY і Х’О’Y’ рівні за першою ознакою, отже, ХY=Х’Y’. Таким чином, центральна симетрія зберігає відстань між точками, отже, є переміщенням. Теорема доведена.





Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої l, а сама пряма l – віссю симетрії фігури F.

  • Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої l, а сама пряма l – віссю симетрії фігури F.



Нехай унаслідок осьової симетрії відносно прямої l точки Х і У переходять у точки Х’ і У’ відповідно. Введемо систему координат так, щоб пряма l збіглася з віссю Oy (рис.). Тоді внаслідок симетрії відносно цієї прямої точки Х(х1; у1) і Y(х2; у2) перейдуть у точки Х’(х1; у1) і Y‘(-х2; у2) відповідно. За формулою відстані між точками маємо:

  • Нехай унаслідок осьової симетрії відносно прямої l точки Х і У переходять у точки Х’ і У’ відповідно. Введемо систему координат так, щоб пряма l збіглася з віссю Oy (рис.). Тоді внаслідок симетрії відносно цієї прямої точки Х(х1; у1) і Y(х2; у2) перейдуть у точки Х’(х1; у1) і Y‘(-х2; у2) відповідно. За формулою відстані між точками маємо:

  • ,

  • ,

  • отже, ХУ=Х’У’

  • Таким чином, осьова симетрія зберігає відстань між точками, тобто є переміщенням. Теорему доведено.



Симетрія відносно точки О переводить

  • Симетрія відносно точки О переводить

  • точку А в точку В. Де розміщена точка О?

  • Які прямі під час центральної симетрії переходять

  • самі в себе?

  • Скільки осей симетрії має відрізок; пряма? Для кожної з цих фігур опишіть взаємне розміщення осей симетрії.

  • Наведіть приклади фігури, яка:

  • Не має ані центра, ані осей симетрії;

  • Має центр симетрії, але не має осей симетрії;

  • Не має центра симетрії. Але має вісь симетрії;

  • Має центр симетрії і декілька( безліч) осей симетрії.









Два промені називаються співнапрямленими ( або однаково напрямленими ), якщо виконується одна з двох умов:

  • Два промені називаються співнапрямленими ( або однаково напрямленими ), якщо виконується одна з двох умов:

  • 1) Дані промені паралельні й лежать по один бік від прямої, що проходить через їх початкові точки;

  • 2) Дані промені лежать на одній прямій, причому один із них є частиною іншого.

  • Два промені називаються протилежно напрямленими, якщо один із них співнапрямлений з променем, доповняльним до іншого.

  • Паралельним перенесенням фігури F у

  • напрямі променя ОА на відстань а називаєть-

  • ся перетворення фігури F y фігуру F’, унаслі-

  • док якого кожна точка Х фігури F переходить

  • у точку Х’ фігури F’ так, що промені ХХ’ і ОА

  • співнапрямлені і ХХ’ = а



Доведення

  • Доведення

  • Нехай унаслідок паралельного перенесення в напрямі променя ОА на відстань а точки X I Y переходять у точки X’ i Y’ відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис.), коли відрізок XY не паралельний променю ОА і лежить на ньому.

  • За означенням паралельного перенесення XX’||YY’, XX’=YY’= a. Таким чином, чотирикутник XX’YY’, дві сторони якого паралельні й рівні, - паралелограм, звідки XY=X’Y’. Отже, паралельне перенесення зберігає відстань між точками,

  • тобто є переміщенням.

  • Теорему доведено.



Чи існує поворот, унаслідок якого:

  • Чи існує поворот, унаслідок якого:

  • Сторона прямокутника, що не є квадратом, переходить у сусідню сторону;

  • 2. Одна діагональ прямокутника переходить в іншу;

  • 3. Один із внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший;

  • 4. Один із відповідних кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший?



Чи існує паралельне перенесення внаслідок якого:

  • Чи існує паралельне перенесення внаслідок якого:

  • Одна сторона прямокутника переходить в іншу;

  • Одна діагональ прямокутника переходить в іншу;

  • Один із внутрішніх кутів різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший?

  • Один із відповідних кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший?



Промені СD I EF співнапрямлені;

  • Промені СD I EF співнапрямлені;

  • Промені СD I EF протилежно напрямлені?



Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці О. Визначте образ точки А при паралельному перенесенні, внаслідок якого:

  • Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці О. Визначте образ точки А при паралельному перенесенні, внаслідок якого:

  • Точка D переходить у точку С;

  • Точка О переходить у точку С.



Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F’, унаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k > 0)

  • Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F’, унаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k > 0)

  • Число k > 0 називають коефіцієнтом подібності. Очевидно, що при k=1 маємо X’Y’=XY, тобто відстані між точками фігур зберігаються. Це означає, що переміщення є окремим випадком подібності при k=1





Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F’, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х’ фігури F’ так, що точка Х’ лежить на промені ОХ і ОХ’=kOX.

  • Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F’, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х’ фігури F’ так, що точка Х’ лежить на промені ОХ і ОХ’=kOX.

  • Число k називають коефіцієнтом гомотетії, а самі фігури F i F’ – гомотетичними.



Розглянемо випадок, коли точки О, Х і У не лежать на одній прямій.

  • Розглянемо випадок, коли точки О, Х і У не лежать на одній прямій.

  • Нехай унаслідок гомотетії з центром О точки О і У переходять у точки Х’ і У’ відповідно (рис.). За означенням гомотетії ОХО = kОХ, ОУ’ = kОУ. Отже, трикутники ОХУ і ОХ’У’ подібні за двома сторонами й кутом між ними. Звідси випливає, що Х’У’ = kХУ, тобто гомотетія є перетворенням подібності. Що й треба було довести.



Будь-які дві гомотетичні фігури подібні?

  • Будь-які дві гомотетичні фігури подібні?

  • Будь-які дві подібні фігури гомотетичні?

  • Чи можна вважати рівні фігури подібними? А навпаки?



Паралелограм із кутом 40˚ і паралелограм із кутом 145˚;

  • Паралелограм із кутом 40˚ і паралелограм із кутом 145˚;

  • Ромб із кутом 120˚ і ромб з діагоналлю, що дорівнює стороні;

  • Будь-які два квадрати?





. А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов.-Геометрія. 9 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл.-4-те вид.-Х.: Вид-во «Ранок», 2011.-256с.

  • . А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов.-Геометрія. 9 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл.-4-те вид.-Х.: Вид-во «Ранок», 2011.-256с.

  • 2. Апостолова Г.В . Геометрія. 9 клас.-К.:Генеза, 2009.-304с.

  • 3. Чекова А.М. Геометрія. 7-12класи: Навч. посіб.- 5-те вид.- Х.: Країна мрій, 2007.-120с.

  • 4. Березіна Л.Ю., Мельникова Н.Б., Міщенко Т.М. Геометрія в 7-9 класах:Посібник для вчителя.-М.: Просвещение, 1990.-336с.

  • 5. Л.С.Карнацевич, С.П. Ільченко, С.П. Бабенко. -Геометрія. 9 клас.-Плани-конспекти уроків.-2-ге вид.- Х.: Вид-во «Ранок», 2004.-208с.

  • 6. О.О. Старова.- Геометрія. 9 клас.-Серія «Мій конспект»-Х.: Вид.група «Основа», 2010.-144с.




База даних захищена авторським правом ©pres.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка