Правильне мислення



Сторінка9/9
Дата конвертації02.06.2016
Розмір445 b.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Зауваження!!!

  • Ті самі кроки розв’язання можна записати більш лаконічно. Позначимо підлітка як П, а туриста - як Т, річку зобразимо вертикальною рискою. До переправи була конфігурація ППТ | - . Стратегія переправи: 1) Т | ПП; 2) ТП | П; 3) П | ТП; 4) ПП|Т.



  • Відомо, що бікфордів шнур згорає рівно за 1 хвилину. Чи можна за допомогою двох таких шнурів відміряти 45 секунд? (Різати шнури неможна.)

    • Відомо, що бікфордів шнур згорає рівно за 1 хвилину. Чи можна за допомогою двох таких шнурів відміряти 45 секунд? (Різати шнури неможна.)

    • У вас є два піскові годинники: один на 7 хвилин, а другий – на 11. Вам треба відміряти 15 хвилин для певної процедури. Як це зробити за допомогою тільки цих двох годинників?

    • Пограбувавши поштовий вагон, двоє мчали на конях, щоб устигнути на корабель, який відпливає о 16 годині. О 12 годині кінь Джека спіткнувся та зламав ногу. «Мені дуже шкода, Джеку, - сказав Гаррі, - але мій Болівар не витримає двох! Я доїду до пристані за 2 години, а пішки туди йти 6 годин. Наші шляхи розходяться! - Почекай, Гаррі, - заперечив Джек. – Я знаю, як нам разом устигнути на корабель». Як вони можуть дістатися пристані за чотири години?



    Троє ревнивих чоловіків разом із дружинами підійшли до берега річки, знайшли човен, який уміщує не більше ніж двох осіб. Як їм переправитися через річку, щоб жодна з жінок не залишалася без чоловіка в присутності чужого чоловіка без дружини останнього?

    • Троє ревнивих чоловіків разом із дружинами підійшли до берега річки, знайшли човен, який уміщує не більше ніж двох осіб. Як їм переправитися через річку, щоб жодна з жінок не залишалася без чоловіка в присутності чужого чоловіка без дружини останнього?

    • Троє учнів пішли на рибаловлю. У них є надувний човен, що витримує вантаж не більше ніж 100кг. Як учням добратися до острова, якщо вони важать 40, 50 і 70 кг?

    • Ніч. Бурхлива річка, через яку перекинуто благенький місточок. По один бік річки - чотири жінки, у яких лише один ліхтарик на всіх. Міст може витримати лише двох жінок одночасно. Перша жінка може перейти міст за 1 хв, друга – за 2 хв, третя – за 5 хв, четверта – за 10 хв. Їм потрібно переправитися на інший берег не більше як за 17 хв. Перекидати ліхтарик не можна, час переходу вдвох дорівнює часу переходу повільнішої жінки.

    • Космічний корабель під час приземлення зазнав аварії на відстані 80км від бази (на Місяці.) На кораблі є шестиденний запас акумуляторів для забезпечення життя космонавта, але той може підняти лише триденний запас. Чи є в космонавта шанс досягти бази, якщо він може долати в день не більше як 20км?



    Якщо в n клітках не менше як n + 1 кролик, то в якійсь із кліток не менше двох кроликів.

    • Якщо в n клітках не менше як n + 1 кролик, то в якійсь із кліток не менше двох кроликів.

    • Якщо множину, що складається з n + 1 елементів, розбити на n підмножин, то хоча б в одній підмножині виявиться не менше ніж два елементи.

    • Доведіть, що серед множини, що складається з 101 довільного цілого числа, можна вибрати два, різниця яких ділиться на 100.

    • У турнірі бере участь n шахістів. Кожні два з них повинні зіграти між собою одну партію. Доведіть, що в будь-який момент змагань є два шахісти, які зіграли однакому кількість партій.

    • Якщо в n клітках kn + 1 кроль, то в якійсь із кліток їх принаймні k + 1.

    • Якщо множину, що складається з nk + 1 елементів, розбити на n підмножин, то хоча б в одній підмножині виявиться не менше ніж k + 1 елемент.

    • У квадрат зі стороною 1 м «кинули» 51 точку. Доведіть, що якісь три з них можна накрити квадратом зі стороною 20 см .



    **Від вулканологічної станції до вершини вулкана треба йти 4 год дорогою, а потім 4 год стежкою. На вершині два кратери. Виверження з кожного триває 1 год. Перерва в активності першого кратера триває 16 год, другого – 8 год. Під час виверження з першого кратера не можна йти ні стежкою, ні дорогою, а під час виверження другого не можна йти тільки стежкою. Турист побачив, що о 12 год почалось виверження обох кратерів. Чи зможе він колись піднятися на вершину й повернутися назад без ризику для життя? Відповідь обґрунтувати.

    • **Від вулканологічної станції до вершини вулкана треба йти 4 год дорогою, а потім 4 год стежкою. На вершині два кратери. Виверження з кожного триває 1 год. Перерва в активності першого кратера триває 16 год, другого – 8 год. Під час виверження з першого кратера не можна йти ні стежкою, ні дорогою, а під час виверження другого не можна йти тільки стежкою. Турист побачив, що о 12 год почалось виверження обох кратерів. Чи зможе він колись піднятися на вершину й повернутися назад без ризику для життя? Відповідь обґрунтувати.

    • ** Алі-Баба хоче зайти до печери зі скарбом. Перед печерою стоїть бочка, у кришці якої зроблено чотири отвори (їх розміщено у вершинах квадрата, центр якого - центр круга кришки). Під кожним отвором у бочці стоїть глечик, у кожному глечику - оселедець хвостом або вниз, або вгору. Алі-Баба може просунути руки одночасно у два отвори та повернути один чи обидва оселедці. Якщо хвости всіх оселедців буде напрямлено в один бік, то двері до печери відчиниться. Після того як Алі-Баба витягає руки з отворів, бочка швидко повертається, і після її зупинки неможливо визначити, з якими саме отворами він «працював» раніше. Чи існує стратегія, що дасть Алі-Бабі змогу за кілька спроб відчинити двері?



    СУТНІСТЬ МЕТОДУ МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

    • СУТНІСТЬ МЕТОДУ МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

    • 1. Встановлюється істинність даного твердження при певному початковому значенні.

    • Хоча б для n = 1. Це - база індукції.

    • 2. Припускається, що твердження виконується при n = k і проводиться доведення того, що твердження істинне при n = k + 1.

    • Цей перехід називають індукційним переходом або кроком індукції.

    • Таким чином, після повної реалізації цієї схеми дане твердження можна вважати доведеним для всіх n. Справді, маємо істинність твердження при n = 1, тоді є правильним і твердження за номерами 1 +1 = 2; 2 +1 = 3,...

    • Число n називають параметром індукції. Говорять також, що індукція проходить за параметром n.

    • !!!Зверніть увагу на те, що обов’язково треба здійснити перевірку твердження, що вимагається довести, саме для найменшого значення параметра індукції.



    Доведіть, що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп.

    • Доведіть, що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп.

    • Індукцію проведемо по кількості копійок.

    • 1) База індукції. Суму в 8 коп. очевидно можна сплатити.

    • 2) Індукційний перехід. Нехай можемо сплатити суму в k копійок. Доведемо, що тоді можна сплатити і суму в k + 1 копійку.

    • 2.1)Якщо серед монет у сумі в k копійок є монета в 5 коп., то заміною її на дві монетипо 3 коп. отримаємо суму в k + 1 копійку.

    • 2.2)Якщо серед монет у сумі в k копійок немає монети в 5 коп., тобто всі монети по 3коп., то їх не менше ніж 3 шт. Тоді заміною трьох монет по 3 коп. на дві монети по 5 коп. збільшимо суму на 1.

    • 3) З (1) і (2) робимо висновок, що довільну суму, більшу за 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп. Твердження доведено.



    На кожній із планет деякої зоряної системи знаходиться астроном, який спостерігає найближчу планету. Відстані між планетами попарно різні. Довести, якщо кількість планет непарна, то існує планета, яку ніхто не спостерігає.

    • На кожній із планет деякої зоряної системи знаходиться астроном, який спостерігає найближчу планету. Відстані між планетами попарно різні. Довести, якщо кількість планет непарна, то існує планета, яку ніхто не спостерігає.

    • 1) База індукції Для 3 планет твердження очевидне.

    • 2) Індукційний перехід. Припустимо, що воно виконується для 2n - 1 планети. Нехай існує планета за номером 2(n+1) – 1 = 2n +1, тобто є ще дві планети.

    • Позначимо через А і В дві найближчі між собою планети. Тоді астроном із А спостерігає планету В, а астроном із В – планету А. Якщо ще є астроном, що спостерігає планету А або В, то серед планет, що залишились є така, яку ніхто не спостерігає.

    • Якщо ж планети А і В ніхто з інших планет не спостерігає, то «відкинувши» ці дві планети, будемо мати задачу про 2n-1 планету.

    • Твердження доведено.



    У кожній клітинці дошки 5х5 сидить жабенятко. По команді жабеняти плигають на сусідні клітинки. При тому сусідніми вважаються клітинки, що мають спільну сторону. Доведіть, що при цьому принаймні одна клітинка залишиться порожньою.

    • У кожній клітинці дошки 5х5 сидить жабенятко. По команді жабеняти плигають на сусідні клітинки. При тому сусідніми вважаються клітинки, що мають спільну сторону. Доведіть, що при цьому принаймні одна клітинка залишиться порожньою.

    • А якщо сусідніми вважати клітинки, що мають за спільне тільки одну вершину?

    • Мишка гризе куб сиру, складений із 27 одиничних кубиків. З’ївши один кубик, вона переходить до сусіднього з ним через спільну грань. Чи може мишка з’їсти в такий спосіб увесь куб, окрім центрального кубика?



    Замок має форму рівностороннього трикутника зі стороною 36м. Він розбитий на 16 трикутних залів зі сторонами 9м. Між сусідніми залами є двері. Доведіть, що коли людина захоче пройти по замку, побувавши в кожному залі не більше одного разу, то вона зможе оглянути не більше 13 залів.

    • Замок має форму рівностороннього трикутника зі стороною 36м. Він розбитий на 16 трикутних залів зі сторонами 9м. Між сусідніми залами є двері. Доведіть, що коли людина захоче пройти по замку, побувавши в кожному залі не більше одного разу, то вона зможе оглянути не більше 13 залів.

    • При обході замку людина

    • повинна буде почергово

    • переходити із зафарбованих

    • у незафарбовані зали, кількість яких відповідно дорівнює 10 та 6. Тому вона зможе відвідати не більше 7 зафарбованих залів, разом не більше 7 + 6 = 13 всіх залів замку.



    Чи може кінь пройти з поля А-1 шахівниці на поле Н-8, побувавши по дорозі на кожному з решти клітинок поля по одному разу?

    • Чи може кінь пройти з поля А-1 шахівниці на поле Н-8, побувавши по дорозі на кожному з решти клітинок поля по одному разу?

    • Шахову дошку закрили тридцять двома пластинками доміно так, що кожна пластинка закриває рівно 2 клітинки дошки. 8 пластинок закривають 8 клітинок однієї діагоналі дошки, до того одні пластини закривають ще одну клітинку вище діагоналі (В), а інші – нижче (Н). Доведіть, що при будь-якому випадку розміщення пластин виду В та Н буде порівну.

    • Чи можливо розфарбувати клітинки квадрата в чорний та білий кольори таким чином, щоб кількість чорних клітинок довільного квадрата була більша за кількість білих клітинок цього квадрата, а кількість білих клітинок довільного квадрата була більша за кількість чорних клітинок цього квадрата?

    • Чи можна розрізати квадрат 10 х 10 на 25 прямокутників ?



    Три дівчинки: Іра, Наташа і Люда ділили між собою 24 цукерки. Спочатку Іра дала Люді і Наташі стільки цукерок, скільки у них було. Потім Наташа дала подругам у двічі менше, ніж у них стало. А потім Люда дала Ірі та Наташі стільки, скільки у них було на даний момент. В результаті всім дісталось порівну. Скільки цукерок було в кожної дівчинки спочатку?

    • Три дівчинки: Іра, Наташа і Люда ділили між собою 24 цукерки. Спочатку Іра дала Люді і Наташі стільки цукерок, скільки у них було. Потім Наташа дала подругам у двічі менше, ніж у них стало. А потім Люда дала Ірі та Наташі стільки, скільки у них було на даний момент. В результаті всім дісталось порівну. Скільки цукерок було в кожної дівчинки спочатку?

    • Почнемо з останнього твердження умови - цукерок дісталось всім порівну, тобто кожній дівчинці – по 8 цукерок.

    • Проаналізуємо попередні кроки, а відповідні висновки запишемо у вигляді таблиці (мал. 19.1).

    • Обернений крок 1. Перед тим, як кількість цукерок вирівнялася, у Іри та Наташі було вдвічі менше - по 4 цукерки, а у Люди було (24 - 4= 16.

    • Обернений крок 2. У Іри було 4: 2 = 2 цукерки, у Люди 16: 2 = 8, а у Наташі ( 24 – 2 - 8) = 14.

    • Обернений крок 3. У Наташі було 14: 2 = 7 цукерок, у Люди 8: 2 = 4, а у Іри (24 – 7 - 4) = 13.



    У вершинах 100-кутника розміщено числа так, що кожне з них є середнім арифметичним своїх сусідів. Доведіть, що всі ці числа рівні між собою.

    • У вершинах 100-кутника розміщено числа так, що кожне з них є середнім арифметичним своїх сусідів. Доведіть, що всі ці числа рівні між собою.

    • Розглянемо найменше з даних чисел. Зрозуміло, що два його сусідні числа повинні з ним співпадати, тобто є теж найменшими. І т.д.

    • Твердження доведено.

    • * У Тридев’ятому царстві кожні два міста з’єднані дорогою з одностороннім рухом. Довести, що існує місто, з якого в будь-яке інше місто можна проїхати не більш ніж двома дорогами.

    • Розглянемо місто А, з якого виходить найбільша кількість доріг, позначимо їх кількість через n. Припустимо, що існує місто В, в яке не можна проїхати з А однією чи двома дорогами.

    • З міста В обов’язково виходять дороги до міста А та до всіх інших міст, до яких виходять дороги і з міста А, тобто всього хоча б n + 1 дорога. Це суперечить припущенню, що з А виходить найбільша кількість доріг. Отже, з міста А в будь-яке інше місто можна проїхати не більше як двома дорогами.

    • Твердження доведено.



    Ейлер ночами гуляє мостами

    • Ейлер ночами гуляє мостами

    • Між зорями бродить складними шляхами

    • На кожен місток він заходить лиш раз

    • І звідти з питанням вдивляється в нас.

    • 13 сторінок



    Задачі – ігри мають такі характеристики:

    • Задачі – ігри мають такі характеристики:

    • 1. У кожній грі беруть участь, як правило, двоє гравців.

    • 2. Суть гри – це почергове виконання партнерами скінченої кількості певних дій (ходів ).

    • 3. Завжди відомо в чому полягає заключна виграшна позиція, а тому виграє той з гравців, після чийого ходу ця позиція досягається.

    • 4. Гра є відкритою: кожен з гравців має повну інформацію про її перебіг. (Зауважимо, що гра в шашки чи шахи є відкритою, а в доміно, «морський бій», карти - ні.)

    • 5. Суть розв’язання задачі про гру двох осіб – з’ясувати стратегію дій одного з гравців, за якої перемагає саме цей гравець. (Зауважимо, коли встановлено виграшну стратегію, то в саму гру після цього можна вже не грати. )



    Універсальним методом для пошуку виграшних стратегій є аналіз гри « з кінця».

    • Універсальним методом для пошуку виграшних стратегій є аналіз гри « з кінця».

    • На столі – 23 цукерки. Кожен з двох гравців за один хід може взяти будь – яку кількість цукерок від 1 до 4. Виграє той, хто забере останню цукерку. У кого з гравців виграшна стратегія і в чому вона полягає?

    • Нехай маємо таку саму купку з 23 цукерок. Але брати з цієї купки можна тільки 2 або 5 цукерок. Останнім ходом можна забрати і 1 цукерку, якщо їх більше не залишилось. Хто виграє?

    • У багатьох ігрових задачах виграшна стратегія досягається за допомогою вдалого ходу – відповіді на будь – який хід партнера. Існування такого ходу може забезпечуватися симетрією, розбиттям на пари, доповненням до числа тощо.

    • Двоє по черзі кладуть п’ятаки на круглий стіл. Програє той, хто не має місця для ходу. Хто переможе?

    • Двоє по черзі проводять по одній діагоналі в правильному 100 – кутнику так, щоб вони не перетинались з уже побудованими. Хто переможе ?

    • На столі стоїть 9 стаканів вверх дном. Грають двоє, роблячи ходи по черзі. За один хід дозволяється перевернути будь – які 4 стакани або доставити нові 2 стакани вверх дном. Виграє той, після ходу якого всі стакани стоятимуть вниз дном. У котрого з гравців є виграшна стратегія?


    1   2   3   4   5   6   7   8   9


    База даних захищена авторським правом ©pres.in.ua 2016
    звернутися до адміністрації

        Головна сторінка