Система числення



Дата конвертації29.05.2016
Розмір445 b.


Презентація на тему:

  • Система числення


Вступ

  • 1. Сутність різних систем числення

  • 2. Переклад чисел з однієї системи числення в іншу

  • ВИСНОВОК

  • ЛІТЕРАТУРА



Вступ

  • У повсякденному житті ми, як правило, користуємося десятковою системою числення. Але це лише одна з багатьох систем, яка отримала своє поширення, ймовірно, з тієї причини, що в людини на руках 10 пальців. Однак ця система не завжди зручна. Так, в обчислювальній техніці застосовується двійкова система числення.

  • У різні історичні періоди розвитку людства для підрахунків і обчислень використовувалися ті або інші системи числення. Наприклад, досить широко була поширена дванадцяткова система. Багато предметів (ножі, виделки, тарілки, носові хустки і т. д.) і зараз вважають дюжинами. Кількість місяців в році дванадцять. Дванадцяткова система числення збереглася в англійській системі мір (наприклад, 1 фут = 12 дюймам) і в грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсам).

  • У стародавньому Вавілоні існувала дуже складна шістдесяткова система. Вона, як і двенадцатирічня система, в якійсь мірі збереглася і до наших днів (наприклад, в системі виміру часу: 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секундам, аналогічно в системі виміру кутів: 1 градус = 60 хвилинам, 1 хвилина = 60 секундам).

  • У деяких африканських племен була поширена п'ятіркова система числення, в ацтеків і народів майя, що населяли протягом багатьох століть великі області американського континенту, - двадцатерічная система. У деяких племен Австралії й Полінезії зустрічалася двійкова система.

  • У даній роботі будуть розглянуті різні системи числення.



Сутність різних систем числення

  • Слово «цифра» походить від позднелатінского слова «cifra», перші цифри з'явилися у єгиптян і вавілонян, причому цікаво, що цифри, як спеціальні знаки, утворилися пізніше, ніж літери. Так, багато народів (греки, фінікійці, євреї, сирійці) для цифр використовували літери алфавіту

  • Число - це одне з фундаментальних і найдавніших понять математики; воно з'явилося спочатку в зв'язку з рахунком окремих предметів, а потім, абстрагувавшись, стало позначати кількісну міру. Це призвело до ідеї про нескінченність натурального ряду чисел: 1, 2, 3, 4 ... і т. д.

  • Числення (система числення) - це спосіб представлення будь-яких чисел за допомогою певної кількості знаків (цифр) за позиційному принципом.



Позиційна система числення складається у використанні обмеженого числа цифр, зате позиція кожної цифри в числі забезпечує значимість (вага) цієї цифри. Позиція цифри на математичній мові називається розрядом.

  • Позиційна система числення складається у використанні обмеженого числа цифр, зате позиція кожної цифри в числі забезпечує значимість (вага) цієї цифри. Позиція цифри на математичній мові називається розрядом.

  • Іншими словами, значення цифри «мінливе» і залежить від її позиції в числі. Наприклад, в числі «одинадцять» («11») дві одиниці мають різне значення, це відноситься і до інших сполученням «одиниць» - «111», «1111», «11 111» і т. д.

  • Не всякі числові системи використовують саме такий позиційний спосіб запису, в історії людства були й інші експерименти.

  • Спосіб запису чисел за допомогою римських цифр не грішить одноманітністю: якщо цифра розташована праворуч, то її значення додається до попередньої, наприклад число «XI» означає «одинадцять», а якщо - зліва, то значення віднімається, наприклад число «IX», що складається з тих самих цифр, вже означає тільки «дев'ять». Крім того, в римській системі числення в числі вагу цифри X в будь-якій позиції дорівнює просто десяти, наприклад число XXXII (тридцять два). І, нарешті, цифри розкидані по осі чисел.

  • Існує не одну безліч цифр, що утворюють систему числення. Це безліч отримало особливу назву - основа системи числення.

  • Підстава позиційної системи числення - це кількість різних знаків або символів (цифр), використовуваних для відображення чисел у даній системі.

  • Вибір кількості цифр диктується будь-якими потребами реального життя, науки або зручностями обробки. Історично цей вибір визначався звичками або традиціями конкретного народу.

  • Найбільш звичною для нас є десяткова система числення. Історично спочатку, мабуть, використовувалася непозиційній одинична система рахунку - за допомогою каменів або паличок. Система рахунку складалася з двох чисел - один і два, а все, що більше двох, позначалося, як «багато».

  • Потім, завдяки наявності десяти пальців рук у людини, виникла десяткова система рахунку. У цій системі використовуються спеціальні графічні знаки - арабські цифри, які можна записати в наступному порядку: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаків десять, і вони спеціально розділені комами, щоб показати, що це окремі («дискретні») знаки, які не залежать один від одного.



Ідея позиційної системи числення висувалася ще Архімедом у роботі «Обчислення піску».

  • Ідея позиційної системи числення висувалася ще Архімедом у роботі «Обчислення піску».

  • У різний час і в різних народів використовувалися системи числення з різними підставами:

  • · У Стародавньому Вавілоні - шестидесяткова система (використовувана і зараз при вимірі часу);

  • · У Німеччині та Великобританії - дванадцяткова (при вимірюванні кількості, в грошових системах), у стародавніх адигів - двадцатерічная і т. д.;

  • · Некількісних (якість виступає в ролі кількості: «багато», «мало» і т. д.) способи рахунку - наприклад, у ескімосів.

  • Розглянемо основні системи числення, крім десяткової.

  • У двійковій системі числення підставу дорівнює двом. У цій системі числення використовуються всього два знаки, дві цифри - «0» і «1».

  • Така система отримала назву двійкової системи числення. Її ще називають бінарної, від англійського слова «binary», що, власне, і перекладається як "двійковий". У таблиці 1 представлено відповідність десяткових і двійкових чисел.

  • Таблиця 1. Відповідність десяткових і двійкових чисел



У вісімковій системі числення підстава - цифри 0,1,2,3,4,5,6,7.

  • У вісімковій системі числення підстава - цифри 0,1,2,3,4,5,6,7.

  • Таблиця 2. Відповідність десяткових і вісімкових чисел

  • Підстава шістнадцятковій системи числення - цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 і букви A, B, C, D, E, F.

  • З'єднаємо десяткові і шестна-дцатерічние числа в єдину таблицю (табл. 3).

  • Таблиця 3. Відповідність десяткових і шістнадцяткових чисел

  • Шістнадцяткова система використовується, щоб більш компактно записувати двійкову інформацію. Справді, «шістнадцяткова тисяча», що складається з чотирьох розрядів, в двійковому вигляді займає тринадцять розрядів (1000 16 = 1000 млрд 2).



Переклад чисел з однієї системи числення в іншу

  • Розглянемо способи перекладу чисел з однієї системи числення в іншу.

  • а) Переклад двійкового числа на десяткове.

  • Необхідно скласти двійки у ступенях, відповідних позиціях, де в двійковому стоять одиниці. Наприклад:

  • Візьмемо число 20. У двійковій системі воно має такий вигляд: 10100.

  • Отже (вважаємо зліва направо, рахуючи від 4 до 0; число в нульовий мірою завжди дорівнює одиниці)

  • 10100 = 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 0 * 2 0 = 20

  • 16 +0 +4 +0 +0 = 20.

  • б) Переклад десяткового числа в двійкове.

  • Необхідно ділити його на два, записуючи залишок справа наліво:

  • 20 / 2 = 10, залишок 0

  • 10 / 2 = 5, залишок 0

  • 5 / 2 = 2, залишок 1

  • 2 / 2 = 1, залишок 0

  • 1 / 2 = 0, залишок 1

  • У результаті отримуємо: 10100 = 20

  • в) Переклад шістнадцяткового числа на десяткове.

  • У шістнадцятковій системі номер позиції цифри в числі відповідає ступеню, в яку треба звести число 16:

  • 8A = 8 * 16 + 10 (0A) = 138



Наостанок наведемо алгоритм перекладу в двійкову і з двійкової системи, пропонований Л. Радюка.

  • Наостанок наведемо алгоритм перекладу в двійкову і з двійкової системи, пропонований Л. Радюка.

  • Нехай А (цд) - ціле десяткове число. Запишемо його у вигляді суми ступенів підстави 2 з двійковими коефіцієнтами. У його записі в розгорнутій формі будуть відсутні негативні ступеня підстави (числа 2):

  • A (цд) = a (n-1) • 2 ^ (n-1) + a (n-2) • 2 ^ (n-2) + ... + a (1) • 2 ^ 1 + a (0) • 2 ^ 0.

  • На першому кроці розділимо число А (цд) на підставу двійкової системи, тобто на 2. Частка від ділення буде одно:

  • a (n-1) • 2 ^ (n-2) + a (n-2) • 2 ^ (n-3) + ... + a (1), а залишок дорівнює a (0).

  • На другому кроці ціле приватне знову розділимо на 2, залишок від ділення буде тепер дорівнює a (1).

  • Якщо продовжувати цей процес розподілу, то після n-го кроку отримаємо послідовність залишків:

  • a (0), a (1), ..., a (n-1).

  • Легко помітити, що їх послідовність збігається зі зворотним послідовністю цифр цілого двійкового числа, записаного у згорнутій формі:

  • A (2) = a (n-1) ... a (1) a (0).

  • Таким чином, достатньо записати залишки в зворотній послідовності, щоб отримати шукане двійкове число.

  • Тоді сам алгоритм буде наступним:

  • 1. Послідовно виконувати поділ вихідного цілого десяткового числа і одержуваних цілих приватних на основу системи (на 2) до тих пір, поки не вийде приватне, менше дільника, тобто менше 2.

  • 2. Записати отримані залишки в зворотній послідовності, а зліва додати останнє приватне.

  • Для переведення чисел із вісімковій і шістнадцятковій систем числення в двійкову необхідно цифри числа перетворити на групи двійкових цифр. Для перекладу з вісімковій системи в двійкову кожну цифру числа треба перетворити на групу з трьох двійкових цифр - тріаду, а при перетворенні шістнадцяткового числа - в групу з чотирьох цифр - тетраду.



ВИСНОВОК

  • Підводячи підсумки роботи, можна зробити наступні висновки.

  • Позиційна система числення складається у використанні обмеженого числа цифр, зате позиція кожної цифри в числі забезпечує значимість (вага) цієї цифри. Позиція цифри в числі на математичній мові називається розрядом.

  • Підстава позиційної системи числення - це кількість різних знаків або символів (цифр), використовуваних для відображення чисел у даній системі.

  • Для того щоб двійкові числа, що відрізняються досить значною довжиною, було легше сприймати і відображати, їх стискають у вісімкову і шістнадцяткову системи числення.

  • У комп'ютерних технологіях всі види інформації кодуються тільки цифрами або, точніше, числами, які представляються в двійковій системі числення - спосіб представлення будь-яких чисел за допомогою двох знаків (цифр) за позиційному принципом.



ЛІТЕРАТУРА

  • 1. Фрінланд А.Я. Інформатика. - М., 2005.

  • 2. Сидоров В.К. Системи числення. / / Наука і життя 2000. № 2.

  • 3. Радюк Л. Алгоритм перекладу в двійкову і з двійкової системи числення. / / Наука і життя. 2005. № 1.

  • http://ua-referat.com/Система_числення




База даних захищена авторським правом ©pres.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка