Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.
Ймові́рність (лат. probabilitas, англ. probability) — числова характеристика можливості того, що випадкковаподія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділуматематики, що називається теорія
імовірностей.
Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізуазартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних . Найранніші праці в галузітеорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків.
Вважають, що вперше Паскаль звзявся за теорію ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607-1648), що був азартним гравцем, але гра для нього теж була приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомі питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такими:
1. Скільки разів треба кинути дві гральні кубики, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидків?
2. Як справедливо розділити поставлені двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?
Ці задачі обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма (1601-1665) і послужили приводом для запровадження поняття математичного сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання й добутку ймовірностей. Під впливом поставлених і розглянутих питань вирішенням тих же задач займався і Християн Гюйгенс. Він не був знайомий із листуванням Паскаля та Ферма, тому методику розв'язку винайшов самостійно. Його працю, в якій запроваджено основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), було надруковано 1657 року, на двадцять років раніше листів Паскаля і Ферма (1679 рік).
Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.
Цікаві факти про виграші у рулетку
У 1891 році англійський гравець у рулетку на ім’я Чарлз де Вілл Уеллс “зірвав банк” в одному з казино Монако, причому не один, а шість разів за три дні. Подвоюючи свою ставку щоразу, коли програвав, він потім вигравав і перетворив свої 10 тисяч франків, з якими почав гру, в мільйон. Він помер у злиднях в 1926 році, але послужив стимулом для написання популярної пісні “Людина, що зірвала банк в Монте-Карло” і створення переконливої легенди про те, що можна придумати систему, здатну завдати поразки рулетці колесу.
Англійський актор Шон О’Коннері, незмінний виконавець ролей Джеймса Бонда, секретного агента і запеклого гравця, в січні 1963 року в італійському казино “Сан-Вінсент” у трьох партіях поспіль виграв в рулетку близько 30000 доларів. Всі три рази він ставив на номер 17. Система, винайдена англійським інженером-механіком Вільямом Джаггерсом, принесла її автору 180.000 доларів. Система Джаггерса грунтувалася на тому, що ідеально збалансованих рулеткових коліс не буває, а значить, фізичні похибки будуть так чи інакше впливати на його обертання і в результаті деякі номери неодмінно випадуть частіше за інших. Джаггерс найняв шістьох помічників, закріпивши за кожним один ігровий стіл. Щодня вони спостерігали за грою і записували всі випадаючі номера. Увечері інженер збирав записи і аналізував їх. Після копітких розрахунків протягом місяця він міг з упевненістю сказати, що частота випадіння декількох номерів не вкладається в рамки теорії ймовірностей. Після цього Джаггерс сам відправився в казино і взяв участь в грі, роблячи ставки на заздалегідь намічені номеру. Через чотири дні він тримав у руках величезну суму.
Події в матеріальному світі можна розбити на три категорії-достовірні, неможливі і випадкові. Наприклад, якщо підкинути гральну кістку, то вірогідно, що кількість випали очок буде натуральним числом, неможливо, щоб це число дорівнювало 7, і можливо, що воно буде дорівнює 5, а при інших будуть випадати інші значення очок: 1,2,3, 4 або 6. Визначення 1. випадковими подіями називається такий результат спостереження чи експерименту, який при реалізації даного комплексу умов може статися, а може і не відбутися. Приклади: 1. випадання герба при киданні однієї монети. 2. випадання чотирьох очок при киданні гральної кістки - випадкові події. Визначення 2. Випадкова подія, яка обов'язково настане, називається достовірною подією і позначається літерою щ.
Приклади: 3. випадання герба або цифри при підкиданні однієї монети; 4. виграш, програш чи нічия в матчі двох футбольних команд - достовірні події. Визначення 3. Подія визначається неможливим, якщо воно не містить ніякого безлічі результатів і позначається літерою __. При будь-якому результаті випробування ця подія не відбувається. Іншими словами, неможлива подія складається з порожньої множини результатів. Приклади: 5. випадання понад 6 очок при підкиданні грального кубика; 6. випадання цифри і герба одночасно при підкиданні однієї монети - неможливі події.
Задачі
Нехай подія A = {випаде рівно 11 очок}. Два кубики після кидка можуть дати n=6*6=36 різних комбінацій (з урахуванням порядку). Всі випадки однаково ймовірні.
Подія A станеться, якщо на першому кубику випаде 5, а на другому 6 або на першому 6, а на другому 5. Тобто в двох випадках, m=2.
Умова задачі У збиральний цех надходять 20 деталей з першого автомата, 40 деталей з другого, 10 деталей з третього, 30 деталей з четвертого. Імовірність браку з першого автомата рівна 0.1, з другого - 0.6, з третього - 0.2, з четвертого - 0.3. Визначити ймовірність того, що: - взята навмання деталь буде бракованою, - бракована деталь виготовлена на 1 автоматі.
Розв'язання
Нехай подія А полягає в тому, що деталь – бракована.
Події Ні (і = 1..4) полягають в тому, що деталь надійшла з і-автомата.
Всього деталей: 20 + 40 + 10 + 30 = 100.
Події Ні несумісні та утворюють повний простір подій:
Умова задачі Передається 5 повідомлень по каналу сполучень. Кожне повідомлення з імовірністю 0,3 незалежно від інших спотворюється. Знайти найімовірнішу кількість спотворень.
Розв'язання
Найімовірніше число k0 подій визначають з подвійної нерівності:
np – q<k0 <np + p
n = 5, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7
Виконаємо підстановку цих значень у формулу:
5 · 0,3 – 0,7 <k0 < 5 · 0,3 + 0,3
0,8 <k0 < 1,8
Оскільки число np – q – дробове, то існує лише одне найімовірніше число: k0 = 1.
