Виконує перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки. Виконує перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки



Дата конвертації08.06.2016
Розмір445 b.





Виконує перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки.

  • Виконує перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки.

  • Встановлює відповідність між дійсними числами і точками на одиничному колі.

  • Формулює означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса кута і числового аргументу; властивості тригонометричних функцій.

  • Розпізнає і будує графіки тригонометричних функцій і на них ілюструє властивості функцій.

  • Обчислює значення тригонометричних виразів.

  • Перетворює нескладні тригонометричні вирази.

  • Застосовує тригонометричні функції до опису реальних процесів, зокрема гармонічних коливань.



  • У геометрії термін “кут” вживають для позначення двох понять:

  • геометричної фігури, утвореної двома променями із спільним початком (00<α≤1800);

  • 2) величини, що характеризує міру відхилення одного променя від іншого , або кута повороту (-∞<α<+∞).

  • Якщо розгорнутий кут розділити на 180 рівних частин і одну частину прийняти за одиницю вимірювання, то ця одиниця буде називатися градусом.

  • Градус (10) – це 1/180 частина

  • розгорнутого кута.



У математиці, астрономії, фізиці використовують радіанну міру вимірювання кутів. Перше видання яке містило термін “радіан”, вийшло в 1873 р в Англії.

  • У математиці, астрономії, фізиці використовують радіанну міру вимірювання кутів. Перше видання яке містило термін “радіан”, вийшло в 1873 р в Англії.

  • “Радіан” походить від латинського radian (спиця, промінь).



Градусне вимірювання і його частини (мінути, секунди) виникло в Стародавньому Вавилоні задовго до нової ери. Жерці вважали, що свій денний шлях Сонце проходить за 180 “кроків”, і, отже, один “крок” дорівнює 1/180 розгорнутого кута.

  • Градусне вимірювання і його частини (мінути, секунди) виникло в Стародавньому Вавилоні задовго до нової ери. Жерці вважали, що свій денний шлях Сонце проходить за 180 “кроків”, і, отже, один “крок” дорівнює 1/180 розгорнутого кута.

  • В геометрії як одиницю вимірювання кутів використовують прямий кут (d). Якщоα=300, в одиницях прямого кута позначають так α=⅓ d.

  • В астрономії за одиницю вимірювання кутів взято кутову годину. Це величина кута, який становить 1/6 частину прямого.

  • В техніці за одиницю вимірювання кутів взято повний оберт.

  • В артилерії кути вимірюють в “поділках кутоміра”. Велика поділка – це 1/60 частина повного оберту, мала поділка – 1/100 частини великої поділки (28-32, що означає 28 великих і 32 малих поділок кутоміра).

  • Моряки вимірюють кути в румбах. Ця одинця дорівнює 1/16 частині величини розгорнутого кута.

  • В картографії в деяких країнах за одиницю вимірювання кутів взято град.(g) 1g дорівнює 1/200 частині величини розгорнутого кута (α=5g)



Кут 1 радіан – це такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

  • Кут 1 радіан – це такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

  • 1800=π радіан; 1 радіан = ≈ 570;

  • 10= рад ≈ 0,01745рад

  • α0- градусна міра кута, а – радіанна



Визначити радіанну міру кута 1080.

  • Визначити радіанну міру кута 1080.

  • Визначити градусну міру кута 2,3рад



Подай в радіанній мірі величини кутів

  • Подай в радіанній мірі величини кутів

  • 360, 600, 2700, 2160.

  • Подай в градусній мірі величини кутів

  • π/12; π/8; 3π/4; -π/9.



В радіанній системі не введено позначення одиниці вимірювання. Під знаком тригонометричної функції записують тільки числове значення величини кута. Cos π/6; sin2.

  • В радіанній системі не введено позначення одиниці вимірювання. Під знаком тригонометричної функції записують тільки числове значення величини кута. Cos π/6; sin2.

  • Одиниця вимірювання радіанної міри міститься у розгорнутому куті не ціле число разів, а ірраціональне: π ≈ 3,14.

  • Для малих кутів, виміряних у радіанах виконуються наближені рівності sinα≈α, tgα≈α.

  • При радіанному вимірюванні кутів спрощується ряд формул .

  • Довжина дуги

  • Площа сектора



“Тригонометрія” (від грецьких слів “тригонон” – трикутник і “метріо” - вимірюю) означає

  • “Тригонометрія” (від грецьких слів “тригонон” – трикутник і “метріо” - вимірюю) означає

  • “вимірювання трикутників”. Виникнення

  • тригонометрії пов'язане з розвитком астрономії, зародилась та розвивалась у Вавилоні, Єгипті,

  • Китаї, Індії та інших древніх країнах.

  • Древньогрецькі вчені склали перші тригонометричні таблиці довжин хорд, що відповідають різним центральним кутам кола постійного радіуса, які вони використовували для розв'язування трикутників. Перші таблиці було складено давньогрецьким математиком Гіппархом з Нікеї (ІІ ст. до н.е.).

  • Астроном-математик був засновником математичної географії, склав зірковий каталог, досить точно визначив відстань від Землі до Місяця і ввів географічні координати (широту і довготу), використовуючи складені ним тригонометричні таблиці хорд.



Синус і косинус зустрічаються в Індійських астрономічних викладах вже з IV-V ст.

  • Синус і косинус зустрічаються в Індійських астрономічних викладах вже з IV-V ст.

  • Синус “ардхаджива”, тобто половина хорди (“джива” – хорда, тятива луку), Це слово було викривлено арабами в “джайб”, що по арабські означає пазуха, опуклість. Слово “джайб” було переведено у XII ст. на латинь відповідним словом “sinus”.

  • Косинус індійці називали “котиджива”, тобто синус залишку (до чверті кола). Від перестановки цих слів і скорочення одного із них (co-sinus) утворився термін “косинус”.

  • У IX-X ст. вчені країн ісламу (ал-Хабаш, ал-Баттані, Абул-Вафа та ін.) ввели нові тригонометричні величини: тангенс (розв´язування задач на визначення довжини тіні) і котангенс, секанс і косеканс. Латинське слово tangens означає дотичний (відрізок дотичної), sekans – січний (відрізок січної). Терміни “котангенс” і “косеканс” були утворені за аналогією з терміном “косинус”.







Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі

  • Тангенсом кута називають

  • відношення ординати точки

  • Pα(x;y) до її абсциси.

  • Котангенсом кута називають

  • відношення абсциси точки

  • Pα(x;y) до її ординати.





При зростанні α від 00 до 900

  • При зростанні α від 00 до 900

  • синус кута зростає від 0 до1, косинус спадає від 1 до 0, тангенс…

  • При зростанні α від 900 до 1800

  • синус кута спадає від 1 до 0, косинус спадає від 0 до -1, тангенс…

  • При зростанні α від 1800 до 2700

  • синус кута спадає від 0 до -1, косинус зростає від -1 до 0, тангенс…

  • При зростанні α від 2700 до 3600

  • синус кута зростає від -1 до 0, косинус зростає від 0 до 1, тангенс..



Побудувати на одиничному колі точки Рα, на які відображається точка Р0 при повороті на α радіан, якщо: 1) α= π/12; 2) α=2,5; 3) α=3; 4) α=5π/6.

  • Побудувати на одиничному колі точки Рα, на які відображається точка Р0 при повороті на α радіан, якщо: 1) α= π/12; 2) α=2,5; 3) α=3; 4) α=5π/6.

  • Визначити знаки sinα, cosα, tgα, ctgα якщо α = 0,3; α = 12 π/7; α = -13 π/6.

  • Порівняти : sin1 і sin2; cos2 і cos2,5;

  • tg π/6 і tg, π/4; ctg π/3 і ctg π/3,2.



Визначити знак виразу:

  • Визначити знак виразу:

  • Sin1000Cos2100

  • Ctg1350 + Tg1450

  • Sin400 - Sin2100

  • Sin(-430 0)Tg(-2100)





Найбільшими досягненнями грецька тригонометрія зобов’язана Клавдію Птоломею. Його відомий тракат “Мегісте”.

  • Найбільшими досягненнями грецька тригонометрія зобов’язана Клавдію Птоломею. Його відомий тракат “Мегісте”.

  • Гіпотенузу прямокутного трикутника, яка дорівнює діаметру кола, він записував на основі теореми Піфагора. В сучасному трактуванні

  • Cos2 α + Sin2 α =1



Чи можуть бути справедлими одночасно рівності:

  • Чи можуть бути справедлими одночасно рівності:

  • Tgx=3/4 i Cosх=3/5;

  • Tgx=√3 i Sinx=-1/2;

  • Sinx=2/5 i Cosx=4/5



Спростити вираз:

  • Спростити вираз:

  • 1+sin2α – cos2α ;

  • 1 – ctgα*sinα*cosα; (1 – cosα)*tg 2 α*(1 – cosα).

  • Знайти значення всіх тригонометричних функцій аргументу α, якщо sinα= -0,8 і 1800≤α≤2700

  • Довести тотожність

  • (Ctg2α – cos2α)* tg2α = cos2α



Якщо кут α відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( ), то назва даної функції змінюється на кофункцію ;

  • Якщо кут α відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( ), то назва даної функції змінюється на кофункцію ;

  • Якщо кут α відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( ), то назва функції не змінюється.

  • 2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася за умови, що кут α гострий.



Sin(π\2+α);

  • Sin(π\2+α);

  • Cos(3π/2+α);

  • Tg(π - α);

  • Ctg(3π/2 - α);

  • Sin(π+α).



Обчислити

  • Sin 3000 =sin (3600 - 600)=-sin600

  • Tg3π/4 = tg(π –π/4) =

  • Cos 1150 =

  • Ctg 7π/4 =



Щоб учні легше запам’ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до 2π, «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.

  • Щоб учні легше запам’ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до 2π, «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.



1+sin 2 (270 0 – α) + cos 2 (90 0 – α)

  • 1+sin 2 (270 0 – α) + cos 2 (90 0 – α)

  • sin (360 0 - α) + cos (90 0 + α)

  • tg( 3π/2 + α) + ctg (π – α) ctg(5π/2 +α)

  • sin (π/2 + α) - cos (π + α) + tg( π + α)+

  • + ctg (3π/2 – α)



Т називається періодом функції f(x), якщо для довільного х з області визначення виконується рівність f(x) = f(x + T).

  • Т називається періодом функції f(x), якщо для довільного х з області визначення виконується рівність f(x) = f(x + T).

  • Дану функцію називають періодичною.

  • Очевидно, що Т і –Т є періодами (найменшими). Також є періодами числа виду n*T. f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) =

  • = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

  • Y(x)=f(kx+b) T*=T/lkl



Період синуса і косинуса є будь-яке число

  • Період синуса і косинуса є будь-яке число

  • виду 2πn, n єZ,

  • Тангенса та котангенса є будь-яке число

  • виду 2πn, nєZ.

  • sin(2π+α)=sin α cos(2π + α) =cos α

  • tg( π +α)=tgα ctg(π +α)=ctg α

  • Періодичними бувають не лише тригонометричні функції.

  • Наприклад, функція f(x) = {x} є періодичною з періодом

  • Т = 1.





№1. Звести до однойменних функцій гострого кута:

  • №1. Звести до однойменних функцій гострого кута:

  • а) cos1827°=cos(360°*5+27°)= =cos 27°;

  • б) tg 978°=tg(180°*5+78°)=

  • =tg78°;

  • в)   sin (–800°) =

  • г)   ctg 1305° =

  • №2. Обчислити значення тригонометричних функцій:

  • а)   cos 1125° =

  • б)  cos (–315°) =

  • в) tg(-17π/3) =



Побудова графіка функції

  • Побудова графіка функції



1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

  • 1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

  • 2. Область значень – проміжок [-1;1].

  • 3. Функція непарна sin(-x)=-sinx, (графік функції симетричний відносно початку координат)

  • 4.Функція періодична з періодом Т=2П.

  • 5. Функція зростає при xє[-П/2+2Пn;П/2+2Пn], n є Z.

  • 6. Функція спадає при xє[П/2+2Пn;3П/2+2Пn], n є Z.

  • 7. Функція має максимум у точках (П/2+2Пn;1),

  • мінімум у точках (-П/2+2Пn;-1), nє Z.

  • 8.Проміжки знакосталості: sin x > 0, якщо х є(2Пn; П + 2Пn), nєZ

  • sin x < 0, якщо x є(П+ 2Пn; 2П+ 2Пn), nєZ

  • Графіком функції є крива - синусоїда



Графік функції у=cosx отримаємо шляхом перенесення графіка функції у=sinx вліво на π/2 (sin (x + π/2) = cos x)

  • Графік функції у=cosx отримаємо шляхом перенесення графіка функції у=sinx вліво на π/2 (sin (x + π/2) = cos x)



1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

  • 1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

  • 2. Область значень – проміжок [-1;1].

  • 3. Функція парна cos(-x)=cosx, (графік функції симетричний відносно осі OY)

  • 4. Функція періодична з періодом Т=2П (cos (x + 2П) = cos x).

  • 5. Функція зростає при xє[-П+2Пn;2Пn], n є Z.

  • 6. Функція спадає при xє[2Пn;П+2Пn], n є Z.

  • 7. Функція має максимум у точках (2Пn;1),

  • мінімум у точках (П+2Пn;-1), nєZ.

  • 8.Проміжки знакосталості: cos x > 0, якщо х є (-П/2 + 2Пn; П/2 + 2Пn),

  • cos x < 0, якщо x є (П/2 + 2Пn; 3П/2 + 2Пn), nєZ

  • Графіком функції є крива - косинусоїда



1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=П/2+Пn, nєZ.

  • 1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=П/2+Пn, nєZ.

  • 2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).

  • 3. Функція непарна tg(-х)=-tgх (графік функції симетричний відносно початку координат)

  • 4. Функція періодична з періодом Т= П ( tg(x+π)=tgx).

  • 5. Нулі функції – точки (Пn;0), nєZ.

  • 6.Функція зростає на всій області визначення.

  • 7.Проміжки знакосталості Tg x > 0, якщо х є (Пn; П/2 + Пn), nєZ

  • Tgх < 0, якщо х є (-П/2+Пn;Пn), n є Z.

  • 8. Функція не має екстремумів.

  • 9. Графіком функції є крива – тангенсоїда



1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=Пn, nєZ.

  • 1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=Пn, nєZ.

  • 2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).

  • 3. Функція непарна ctg(-х)=-ctgх (графік функції симетричний відносно початку координат )

  • 4. Функція періодична з періодом Т= П ( сtg(x+π)=сtgx).

  • 5. Нулі функції – точки (π\2+Пn;0), nєZ.

  • 6. Функція спадає на всій області визначення.

  • 7.Проміжки знакосталості ctgх >0, якщо xє (Пn;П/2+Пn), n є Z.

  • ctgх < 0, якщо x є (П/2+Пn;П+Пn), n є Z.

  • 8. Функція не має екстремумів.

  • 9. Графіком функції є крива - котангенсоїда



tg 150 і tg 1400

  • tg 150 і tg 1400

  • Розв’язання

  • Оскільки tg 1400= tg (1800 - 400)=- tg 400 і

  • tg 150 >- tg 400.

  • Отже, tg 150 > tg 1400.

  • 2. сtg (-1,2 π) і сtg (-0,1π)

  • 3. sin2 і sin5

  • 4. сos70° і сos290°

  • 5. сos340° і sin250°



Перетворення графіків функцій

  • 1.Для побудови графіка функції y = f(x)± а необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y = f(x) вздовж осі OY на а одиниць вгору (вниз).

  • 2. Для побудови графіка функції y = f(x±а) необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y = f(x) вздовж осі OX на а одиниць вліво (вправо).





Перетворення графіків функцій

  • Графік функції y = k f(x) можна дістати з графіка функції y = f(x) за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0

  • Графік функції y = f( k x) можна дістати з графіка функції y = за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0





Перетворення графіків функцій

  • 5. Для побудови графіка функції y =| f(x) | необхідно побудувати графік функції y = f(x) при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі

  • Для побудови графіка функції y = f |(x) | необхідно побудувати графік функції y = f(x) при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі





Перетворення графіків функцій

  • Для побудови графіка функції y = - f(x) необхідно графік функції

  • y = f(x) відобразити симетрично відносно осі OX.

  • Для побудови графіка функції

  • y = f(-x) необхідно графік функції

  • y = f(x) відобразити симетрично відносно осі OY.



Побудувати графік функції y = - сos x





Запиши функцію

  • Графік функція y=сtgx паралельно перенесли на 4 одиниці вниз вздовж осі Oy і на π/4 одиниці вліво вздовж осі Ox. Отримали наступний графік функції:



Гармонічні коливання

  • У природі і техніці, повсякденному житті часто доводиться спостерігати коливальні рухи. Наприклад, рух маятника годинника, коливання струни музичного інструмента, коливання води від кинутого в неї предмета та ін

  • До найпростіших коливальних рухів належать гармонічні коливання. Такі коливання можна описати за допомогою тригонометричних функцій (математичною моделлю таких коливань є тригонометричні функції певного виду)



Гармонічними коливаннями називаються періодичні коливання фізичної величини, які відбуваються згідно із законом у = у0 cos (ωt + φ0).

  • Гармонічними коливаннями називаються періодичні коливання фізичної величини, які відбуваються згідно із законом у = у0 cos (ωt + φ0).

  • де t — час, 

  • y0 — це найбільше значення, яке приймає величина y під час коливань, яке називають амплітудою коливань

  • ω — циклічна частота коливань,

  • ωt + φ0  —фаза коливань, φ0 називают початковою фазою.



Уявлення про коливання…



Гармонічні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад, у коливальному контурі та інші.

  • Гармонічні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад, у коливальному контурі та інші.



Тригонометричні функцііматематичні функціі від кута.

  • Тригонометричні функцііматематичні функціі від кута.

  • Вони важливі при вивченні геометрії, а також при дослідженні періодичних процесів.

  • Зазвичай тригонометричні функції визначають як відношення сторін прямокутного трикугника або довжини визначених відрізків в одиничному колі.

  • Більш сучасніші визначення визначають тригонометричні функції через суми рядів або як розв′язки деяких диференціальных рівнянь, що дозволяє поширити область визначення цих функцій на довільні дійсні числа і навіть на комплексні числа.








База даних захищена авторським правом ©pres.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка