Елементарна подія - кожний можливий наслідок стохастичного експерименту.
Простір елементарних подій -множина всіх можливих наслідків стохастичного експерименту.
Основні поняття теорії ймовірностей
Приклади.
1. Підкидання монети один раз і фіксація грані, якою монета впаде догори.
Множина всіх можливих наслідків складається з двох наслідків: «монета падає догори гербом» і «монета падає догори цифрою». Це можна записати так : г, ц.
2. Підкидання грального кубика один раз і фіксація кількості очок на грані, що випала догори.
1, 2, 3, 4, 5, 6.
3. Підкидання двох гральних кубиків один раз і фіксація суми очок на гранях, які випали догори.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Основні поняття теорії ймовірностей
Приклади.
4. Фіксація номера кульки, яка викочується з лототрону в таких іграх, як лото «Забава», «Укрлото», «Спортлото» тощо.
Множина містить усі числа, які відповідають номерам кульок. Оскільки в лото «Забава» в лототроні 75 кульок, то 1, 2, 3, …, 75.
5. Вибір навмання числа з відрізка [ a; b ], де a та b дійсні числа і його фіксація.
[ a; b ] .
Запропонуйте свої приклади стохастичних експериментів та вкажіть відповідні їм простори елементарних подій
Випадковими подіями (або просто подіями) називають деякі з підмножин простору елементарних подій.
!!! Кожна випадкова подія є деякою сукупністю певних наслідків експерименту, тобто підмножиною простору . Проте не кожна підмножина простору є подією !!!
Порожня множина і сама множина завжди вважаються подіями.
Поняття випадкової події
Події позначають великими латинськими буквами А, В, С тощо. Оскільки кожна подія є деякою множиною, то її можна задати переліком її елементів – елементарних подій, або словесно – описанням характеристичної властивості її елементів.
Кожну елементарну подію е, з яких складається подія А, називають елементарною подією, що сприяє події А і позначають е А.
Усі інші елементарні подіїе вважаються такими, що не сприяють події А і позначають е А.
Наприклад, в експерименті з підкиданням грального кубика події А 2, 4, 6 («випала парна кількість очок») сприяє три елементарних події: 2, 4 і 6, а 1, 3 і 5 не сприяють події А. Події В = («випало не більше, ніж 6 очок») сприяють всі шість елементарних подій: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Події С = («випало більше, ніж 6 очок») не сприяє жодна елементарна подія з простору .
Поняття випадкової події
Якщо в результаті випробування відбулася елементарна подія е, що сприяє події А (е А), то кажуть, що в результаті цього випробування подія А відбулася; якщо в результаті випробування не відбулася жодна елементарна подія е А, то кажуть, що в результаті цього випробування подія А не відбулася.
Простір елементарних подій є початковою математичною моделлю стохастичного експерименту.
Вірогідна та неможлива події
Подія – множина усіх можливих наслідків експерименту.
В результаті кожного випробування подія обов’язково відбудеться. Тому подію називають вірогідною (або достовірною).
Інакше, вірогідною є подія, яка відбувається в результаті кожного випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.
Подія не містить жодної елементарної події е з множини , тому вона ніколи не може відбутися в результаті проведення експерименту. Подію називають неможливою.
Інакше кажучи, неможливою є подія, яка не може відбутися в результаті будь-якого випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.
Рівні події
Якщо подія В відбувається завжди, коли відбувається подія А, то пишуть і кажуть, подія В спричинюється подією А або подія А спричинює подію В.
Це означає, що кожна елементарна подія е, що сприяє події А (е А), сприяє також і події В (е В).
Якщо подія А спричинює подію В і подія В спричинює подію А ( і В А), то події А і В називають рівними, або рівносильними, або еквівалентними і записують А = В.
Це означає, що кожна елементарна подія, що сприяє події А, сприяє також і події В, та навпаки, кожна елементарна подія, що сприяє події В, сприяє також і події А.
Інакше, події А і В рівні тоді і тільки тоді, коли вони одночасно відбуваються або не відбуваються.
Операції над подіями
Сумою подій А + В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій А або В.
Щоб отримати суму подій А + В, треба до елементарних подій, що сприяють одній з них, приєднати ті елементарні події, що сприяють іншій і не сприяють першій.
Сумою подій Аі називають таку подію C = Ai , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій Аі.
Операції над подіями
Операції над подіями
Означення випадкової події
Випадковими подіями або просто подіями називають такі підмножини простору Ω, які утворюють деяку сукупність S, що задовольняє три основні умови:
1s. S
- вірогідна подія завжди належить цій сукупності;
2s. Якщо А S, то Ā S
- кожна подія належить цій сукупності разом зі своєю протилежною подією;
3s. Якщо Аi S, i N, то Аi S
- для будь-яких подій, що належать даній сукупності, їх сума також належить цій сукупності.
Таку сукупність S називають простором подій. Кожну підмножину , що входить до S, вважають подією, а всі інші підмножини Ω не вважають подіями.
Простір випадкових подій
Простір подій S можна утворювати багатьма способами. Головним при побудові простору подій є виконання основних властивостей подій 1s – 3s, які можна назвати правилами побудови простору подій або правилами визначення випадкових подій.
Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нам важливо, щоб подією було випадання парної кількості очок. Тоді в S повинні входити Ω, , А = {2, 4, 6} (за умовою завдання) і Ā= {1, 3, 5} (за властивістю 2s).
Cукупність , , 1, 3, 5, 2, 4, 6 можна вважати простором випадкових подій S і при цьому кожен елемент цієї сукупності є випадковою подією. Усі інші підмножини при цьому не вважаються подіями.
Простір випадкових подій
Множину , , 1, 3, 5, 1, 2 не можна вважати простором випадкових подій, оскільки не виконуються умови 2 і 3. Приєднуючи до неї підмножини 2, 4, 6, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 1, 2, 4, 6, 3, 5, отримаємо сукупність, яка буде задовольняти умови 1s – 3s і яку можна назвати простором подій.
Сукупність S*, утворена з усіх підмножин простору , також задовольняє умови 1s – 3s. Вона називається найширшим простором подій, а сукупність S* = {Ω, } називається найвужчим простором подій (пов’язаних з даним простором )
Простір S разом з простором елементарних подій дає уточнену модель даного випадкового експерименту.
Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія е відбулася m раз, 0 ≤ т ≤ n.
Число m випробувань, у яких відбулася елементарна подія е називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань.
Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань.
Позначається і обчислюється за формулою
Статистична ймовірність події
Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія A S відбулася m раз,
0 ≤ т ≤ n.
Означення. Число т випробувань, у яких відбулася подія А називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою або статистичною ймовірністю події А в даній серії із n випробувань.
Статистична ймовірність події А характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань.
Позначається і обчислюється за формулою
Статистична ймовірність події
Наприклад. Нехай проведено n = 20 підкидань кубика, на гранях якого нанесені числа 1, 2, 3 і зафіксовано такі випадання чисел: 1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 2.
Побудуємо простір подій S = , , .
Події А = , сприяють елементарні події е1 = 1 і е3 = 3, які спостерігалися 7 і 6 разів відповідно. Отже, m1 = 7 іm3 = 6 абсолютні частоти цих елементарних подій в даній серії випробувань, а абсолютна частота події А є m = 13. Відносні частоти будуть відповідно дорівнювати:
