Елементи теорії ймовірностей місце теми в шкільному курсі математики



Дата конвертації17.06.2016
Розмір445 b.
#9461


ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ


Місце теми в шкільному курсі математики

  • Алгебра, 9 клас (12-річна школа)



Алгебра і початки аналізу, 11 клас (11-річна школа)

  • Алгебра і початки аналізу, 11 клас (11-річна школа)



Алгебра і початки аналізу, 11 клас (12-річна школа)

  • Алгебра і початки аналізу, 11 клас (12-річна школа)



Алгебра, 9 клас, поглиблене вивчення (12-річна школа)

  • Алгебра, 9 клас, поглиблене вивчення (12-річна школа)



Алгебра і початки аналізу, 11 клас, поглиблене вивчення

  • Алгебра і початки аналізу, 11 клас, поглиблене вивчення



Основні поняття теорії ймовірностей

  • Стохастичний експеримент - експеримент, точний результат (наслідок) якого передбачити неможливо.

  • Випробування - кожне конкретне (окреме) проведення стохастичного експерименту.

  • Елементарна подія - кожний можливий наслідок стохастичного експерименту.

  • Простір елементарних подій - множина всіх можливих наслідків стохастичного експерименту.



Основні поняття теорії ймовірностей

  • Приклади.

  • 1. Підкидання монети один раз і фіксація грані, якою монета впаде догори.

  • Множина всіх можливих наслідків складається з двох наслідків: «монета падає догори гербом» і «монета падає догори цифрою». Це можна записати так :   г, ц.

  • 2. Підкидання грального кубика один раз і фіксація кількості очок на грані, що випала догори.

  •   1, 2, 3, 4, 5, 6.

  • 3. Підкидання двох гральних кубиків один раз і фіксація суми очок на гранях, які випали догори.

  •   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.



Основні поняття теорії ймовірностей

  • Приклади.

  • 4. Фіксація номера кульки, яка викочується з лототрону в таких іграх, як лото «Забава», «Укрлото», «Спортлото» тощо.

  • Множина  містить усі числа, які відповідають номерам кульок. Оскільки в лото «Забава» в лототроні 75 кульок, то   1, 2, 3, …, 75.

  • 5. Вибір навмання числа з відрізка [ a; b ], де a та b дійсні числа і його фіксація.

  •   [ a; b ] .

  • Запропонуйте свої приклади стохастичних експериментів та вкажіть відповідні їм простори елементарних подій



Поняття випадкової події

  • Випадковими подіями (або просто подіями) називають деякі з підмножин простору елементарних подій .

  • !!! Кожна випадкова подія є деякою сукупністю певних наслідків експерименту, тобто підмножиною простору . Проте не кожна підмножина простору є подією !!!

  • Порожня множина і сама множина завжди вважаються подіями.



Поняття випадкової події

  • Події позначають великими латинськими буквами А, В, С тощо. Оскільки кожна подія є деякою множиною, то її можна задати переліком її елементів – елементарних подій, або словесно – описанням характеристичної властивості її елементів.

  • Кожну елементарну подію е, з яких складається подія А, називають елементарною подією, що сприяє події А і позначають е А.

  • Усі інші елементарні події е вважаються такими, що не сприяють події А і позначають е А.

  • Наприклад, в експерименті з підкиданням грального кубика події А  2, 4, 6 («випала парна кількість очок») сприяє три елементарних події: 2, 4 і 6, а 1, 3 і 5 не сприяють події А. Події В =  («випало не більше, ніж 6 очок») сприяють всі шість елементарних подій: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Події С =  («випало більше, ніж 6 очок») не сприяє жодна елементарна подія з простору .



Поняття випадкової події

  • Якщо в результаті випробування відбулася елементарна подія е, що сприяє події А (еА), то кажуть, що в результаті цього випробування подія А відбулася; якщо в результаті випробування не відбулася жодна елементарна подія еА, то кажуть, що в результаті цього випробування подія А не відбулася.

  • Простір  елементарних подій є початковою математичною моделлю стохастичного експерименту.



Вірогідна та неможлива події

  • Подія  – множина усіх можливих наслідків експерименту.

  • В результаті кожного випробування подія  обов’язково відбудеться. Тому подію називають вірогідною (або достовірною).

  • Інакше, вірогідною є подія, яка відбувається в результаті кожного випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.

  • Подія  не містить жодної елементарної події е з множини , тому вона ніколи не може відбутися в результаті проведення експерименту. Подію називають неможливою.

  • Інакше кажучи, неможливою є подія, яка не може відбутися в результаті будь-якого випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.



Рівні події

  • Якщо подія В відбувається завжди, коли відбувається подія А, то пишуть   і кажуть, подія В спричинюється подією А або подія А спричинює подію В.

  • Це означає, що кожна елементарна подія е, що сприяє події А (еА), сприяє також і події В (еВ).

  • Якщо подія А спричинює подію В і подія В спричинює подію А (  і В А), то події А і В називають рівними, або рівносильними, або еквівалентними і записують А = В.

  • Це означає, що кожна елементарна подія, що сприяє події А, сприяє також і події В, та навпаки, кожна елементарна подія, що сприяє події В, сприяє також і події А.

  • Інакше, події А і В рівні тоді і тільки тоді, коли вони одночасно відбуваються або не відбуваються.



Операції над подіями

  • Сумою подій А + В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій А або В.

  • Щоб отримати суму подій А + В, треба до елементарних подій, що сприяють одній з них, приєднати ті елементарні події, що сприяють іншій і не сприяють першій.



Сумою подій Аі називають таку подію C =  Ai , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій Аі.



Операції над подіями





Операції над подіями



Означення випадкової події

  • Випадковими подіями або просто подіями називають такі підмножини простору Ω, які утворюють деяку сукупність S, що задовольняє три основні умови:

  • 1s. S

  • - вірогідна подія завжди належить цій сукупності;

  • 2s. Якщо А S, то Ā S

  • - кожна подія належить цій сукупності разом зі своєю протилежною подією;

  • 3s. Якщо Аi S, i N, то  Аi S

  • - для будь-яких подій, що належать даній сукупності, їх сума також належить цій сукупності.

  • Таку сукупність S називають простором подій. Кожну підмножину , що входить до S, вважають подією, а всі інші підмножини Ω не вважають подіями.



Простір випадкових подій

  • Простір подій S можна утворювати багатьма способами. Головним при побудові простору подій є виконання основних властивостей подій 1s – 3s, які можна назвати правилами побудови простору подій або правилами визначення випадкових подій.

  • Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій   1, 2, 3, 4, 5, 6. Нам важливо, щоб подією було випадання парної кількості очок. Тоді в S повинні входити Ω, , А = {2, 4, 6} (за умовою завдання) і Ā= {1, 3, 5} (за властивістю 2s).

  • Cукупність , , 1, 3, 5, 2, 4, 6 можна вважати простором випадкових подій S і при цьому кожен елемент цієї сукупності є випадковою подією. Усі інші підмножини  при цьому не вважаються подіями.



Простір випадкових подій

  • Множину , , 1, 3, 5, 1, 2 не можна вважати простором випадкових подій, оскільки не виконуються умови 2 і 3. Приєднуючи до неї підмножини 2, 4, 6, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 1, 2, 4, 6, 3, 5, отримаємо сукупність, яка буде задовольняти умови 1s – 3s і яку можна назвати простором подій.

  • Сукупність S*, утворена з усіх підмножин простору , також задовольняє умови 1s – 3s. Вона називається найширшим простором подій, а сукупність S* = {Ω, } називається найвужчим простором подій (пов’язаних з даним простором )

  • Простір S разом з простором елементарних подій  дає уточнену модель даного випадкового експерименту.



Статистична ймовірність події

  • Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій  та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія е   відбулася m раз, 0 ≤ тn.

  • Число m випробувань, у яких відбулася елементарна подія е називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань.

  • Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань.

  • Позначається і обчислюється за формулою



Статистична ймовірність події

  • Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій  та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія A S відбулася m раз,

  • 0 ≤ тn.

  • Означення. Число т випробувань, у яких відбулася подія А називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою або статистичною ймовірністю події А в даній серії із n випробувань.

  • Статистична ймовірність події А характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань.

  • Позначається і обчислюється за формулою



Статистична ймовірність події

  • Наприклад. Нехай проведено n = 20 підкидань кубика, на гранях якого нанесені числа 1, 2, 3 і зафіксовано такі випадання чисел: 1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 2.

  • Побудуємо простір подій S =   , , .

  • Події А = ,  сприяють елементарні події е1 = 1 і е3 = 3, які спостерігалися 7 і 6 разів відповідно. Отже, m1 = 7 і m3 = 6 абсолютні частоти цих елементарних подій в даній серії випробувань, а абсолютна частота події А є m = 13. Відносні частоти будуть відповідно дорівнювати:



Основні властивості статистичної ймовірності



Властивості статистичної ймовірності



Властивості статистичної ймовірності



Каталог: fileadmin -> user upload -> documents
documents -> Усна народна творчість уявіть
documents -> Збірка поезій "Зів’яле листя" (підзаголовок "Лірична драма") Мотиви туги і страждань
documents -> Відміню-вання іменників першої відміни
documents -> Урок Інтерактивні технології навчання
documents -> Використання презентацій в навчальному процесі Види презентацій
documents -> Інформації про рі-вень засвоєння учнями навчального матері-алу Принципи використання інформації зворотного зв'язку Проблеми змісту тестованого матеріалу Параметри задаються на основі Програми
documents -> Радянізація західних областей України Відновлення радянського режиму


Поділіться з Вашими друзьями:




База даних захищена авторським правом ©pres.in.ua 2022
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка