2. Переклад чисел з однієї системи числення в іншу
ВИСНОВОК
ЛІТЕРАТУРА
Вступ
У повсякденному житті ми, як правило, користуємося десятковою системою числення. Але це лише одна з багатьох систем, яка отримала своє поширення, ймовірно, з тієї причини, що в людини на руках 10 пальців. Однак ця система не завжди зручна. Так, в обчислювальній техніці застосовується двійкова система числення.
У різні історичні періоди розвитку людства для підрахунків і обчислень використовувалися ті або інші системи числення. Наприклад, досить широко була поширена дванадцяткова система. Багато предметів (ножі, виделки, тарілки, носові хустки і т. д.) і зараз вважають дюжинами. Кількість місяців в році дванадцять. Дванадцяткова система числення збереглася в англійській системі мір (наприклад, 1 фут = 12 дюймам) і в грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсам).
У стародавньому Вавілоні існувала дуже складна шістдесяткова система. Вона, як і двенадцатирічня система, в якійсь мірі збереглася і до наших днів (наприклад, в системі виміру часу: 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секундам, аналогічно в системі виміру кутів: 1 градус = 60 хвилинам, 1 хвилина = 60 секундам).
У деяких африканських племен була поширена п'ятіркова система числення, в ацтеків і народів майя, що населяли протягом багатьох століть великі області американського континенту, - двадцатерічная система. У деяких племен Австралії й Полінезії зустрічалася двійкова система.
У даній роботі будуть розглянуті різні системи числення.
Сутність різних систем числення
Слово «цифра» походить від позднелатінского слова «cifra», перші цифри з'явилися у єгиптян і вавілонян, причому цікаво, що цифри, як спеціальні знаки, утворилися пізніше, ніж літери. Так, багато народів (греки, фінікійці, євреї, сирійці) для цифр використовували літери алфавіту
Число - це одне з фундаментальних і найдавніших понять математики; воно з'явилося спочатку в зв'язку з рахунком окремих предметів, а потім, абстрагувавшись, стало позначати кількісну міру. Це призвело до ідеї про нескінченність натурального ряду чисел: 1, 2, 3, 4 ... і т. д.
Числення (система числення) - це спосіб представлення будь-яких чисел за допомогою певної кількості знаків (цифр) за позиційному принципом.
Позиційна система числення складається у використанні обмеженого числа цифр, зате позиція кожної цифри в числі забезпечує значимість (вага) цієї цифри. Позиція цифри на математичній мові називається розрядом.
Позиційна система числення складається у використанні обмеженого числа цифр, зате позиція кожної цифри в числі забезпечує значимість (вага) цієї цифри. Позиція цифри на математичній мові називається розрядом.
Іншими словами, значення цифри «мінливе» і залежить від її позиції в числі. Наприклад, в числі «одинадцять» («11») дві одиниці мають різне значення, це відноситься і до інших сполученням «одиниць» - «111», «1111», «11 111» і т. д.
Не всякі числові системи використовують саме такий позиційний спосіб запису, в історії людства були й інші експерименти.
Спосіб запису чисел за допомогою римських цифр не грішить одноманітністю: якщо цифра розташована праворуч, то її значення додається до попередньої, наприклад число «XI» означає «одинадцять», а якщо - зліва, то значення віднімається, наприклад число «IX», що складається з тих самих цифр, вже означає тільки «дев'ять». Крім того, в римській системі числення в числі вагу цифри X в будь-якій позиції дорівнює просто десяти, наприклад число XXXII (тридцять два). І, нарешті, цифри розкидані по осі чисел.
Існує не одну безліч цифр, що утворюють систему числення. Це безліч отримало особливу назву - основа системи числення.
Підстава позиційної системи числення - це кількість різних знаків або символів (цифр), використовуваних для відображення чисел у даній системі.
Вибір кількості цифр диктується будь-якими потребами реального життя, науки або зручностями обробки. Історично цей вибір визначався звичками або традиціями конкретного народу.
Найбільш звичною для нас є десяткова система числення. Історично спочатку, мабуть, використовувалася непозиційній одинична система рахунку - за допомогою каменів або паличок. Система рахунку складалася з двох чисел - один і два, а все, що більше двох, позначалося, як «багато».
Потім, завдяки наявності десяти пальців рук у людини, виникла десяткова система рахунку. У цій системі використовуються спеціальні графічні знаки - арабські цифри, які можна записати в наступному порядку: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаків десять, і вони спеціально розділені комами, щоб показати, що це окремі («дискретні») знаки, які не залежать один від одного.
Ідея позиційної системи числення висувалася ще Архімедом у роботі «Обчислення піску».
Ідея позиційної системи числення висувалася ще Архімедом у роботі «Обчислення піску».
У різний час і в різних народів використовувалися системи числення з різними підставами:
· У Стародавньому Вавілоні - шестидесяткова система (використовувана і зараз при вимірі часу);
· У Німеччині та Великобританії - дванадцяткова (при вимірюванні кількості, в грошових системах), у стародавніх адигів - двадцатерічная і т. д.;
· Некількісних (якість виступає в ролі кількості: «багато», «мало» і т. д.) способи рахунку - наприклад, у ескімосів.
Розглянемо основні системи числення, крім десяткової.
У двійковій системі числення підставу дорівнює двом. У цій системі числення використовуються всього два знаки, дві цифри - «0» і «1».
Така система отримала назву двійкової системи числення. Її ще називають бінарної, від англійського слова «binary», що, власне, і перекладається як "двійковий". У таблиці 1 представлено відповідність десяткових і двійкових чисел.
Таблиця 1. Відповідність десяткових і двійкових чисел
У вісімковій системі числення підстава - цифри 0,1,2,3,4,5,6,7.
У вісімковій системі числення підстава - цифри 0,1,2,3,4,5,6,7.
Таблиця 2. Відповідність десяткових і вісімкових чисел
Підстава шістнадцятковій системи числення - цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 і букви A, B, C, D, E, F.
З'єднаємо десяткові і шестна-дцатерічние числа в єдину таблицю (табл. 3).
Таблиця 3. Відповідність десяткових і шістнадцяткових чисел
Шістнадцяткова система використовується, щоб більш компактно записувати двійкову інформацію. Справді, «шістнадцяткова тисяча», що складається з чотирьох розрядів, в двійковому вигляді займає тринадцять розрядів (1000 16 = 1000 млрд 2).
Переклад чисел з однієї системи числення в іншу
Розглянемо способи перекладу чисел з однієї системи числення в іншу.
а) Переклад двійкового числа на десяткове.
Необхідно скласти двійки у ступенях, відповідних позиціях, де в двійковому стоять одиниці. Наприклад:
Візьмемо число 20. У двійковій системі воно має такий вигляд: 10100.
Отже (вважаємо зліва направо, рахуючи від 4 до 0; число в нульовий мірою завжди дорівнює одиниці)
Необхідно ділити його на два, записуючи залишок справа наліво:
20 / 2 = 10, залишок 0
10 / 2 = 5, залишок 0
5 / 2 = 2, залишок 1
2 / 2 = 1, залишок 0
1 / 2 = 0, залишок 1
У результаті отримуємо: 10100 = 20
в) Переклад шістнадцяткового числа на десяткове.
У шістнадцятковій системі номер позиції цифри в числі відповідає ступеню, в яку треба звести число 16:
8A = 8 * 16 + 10 (0A) = 138
Наостанок наведемо алгоритм перекладу в двійкову і з двійкової системи, пропонований Л. Радюка.
Наостанок наведемо алгоритм перекладу в двійкову і з двійкової системи, пропонований Л. Радюка.
Нехай А (цд) - ціле десяткове число. Запишемо його у вигляді суми ступенів підстави 2 з двійковими коефіцієнтами. У його записі в розгорнутій формі будуть відсутні негативні ступеня підстави (числа 2):
A (цд) = a (n-1) • 2 ^ (n-1) + a (n-2) • 2 ^ (n-2) + ... + a (1) • 2 ^ 1 + a (0) • 2 ^ 0.
На першому кроці розділимо число А (цд) на підставу двійкової системи, тобто на 2. Частка від ділення буде одно:
a (n-1) • 2 ^ (n-2) + a (n-2) • 2 ^ (n-3) + ... + a (1), а залишок дорівнює a (0).
На другому кроці ціле приватне знову розділимо на 2, залишок від ділення буде тепер дорівнює a (1).
Якщо продовжувати цей процес розподілу, то після n-го кроку отримаємо послідовність залишків:
a (0), a (1), ..., a (n-1).
Легко помітити, що їх послідовність збігається зі зворотним послідовністю цифр цілого двійкового числа, записаного у згорнутій формі:
A (2) = a (n-1) ... a (1) a (0).
Таким чином, достатньо записати залишки в зворотній послідовності, щоб отримати шукане двійкове число.
Тоді сам алгоритм буде наступним:
1. Послідовно виконувати поділ вихідного цілого десяткового числа і одержуваних цілих приватних на основу системи (на 2) до тих пір, поки не вийде приватне, менше дільника, тобто менше 2.
2. Записати отримані залишки в зворотній послідовності, а зліва додати останнє приватне.
Для переведення чисел із вісімковій і шістнадцятковій систем числення в двійкову необхідно цифри числа перетворити на групи двійкових цифр. Для перекладу з вісімковій системи в двійкову кожну цифру числа треба перетворити на групу з трьох двійкових цифр - тріаду, а при перетворенні шістнадцяткового числа - в групу з чотирьох цифр - тетраду.
ВИСНОВОК
Підводячи підсумки роботи, можна зробити наступні висновки.
Позиційна система числення складається у використанні обмеженого числа цифр, зате позиція кожної цифри в числі забезпечує значимість (вага) цієї цифри. Позиція цифри в числі на математичній мові називається розрядом.
Підстава позиційної системи числення - це кількість різних знаків або символів (цифр), використовуваних для відображення чисел у даній системі.
Для того щоб двійкові числа, що відрізняються досить значною довжиною, було легше сприймати і відображати, їх стискають у вісімкову і шістнадцяткову системи числення.
У комп'ютерних технологіях всі види інформації кодуються тільки цифрами або, точніше, числами, які представляються в двійковій системі числення - спосіб представлення будь-яких чисел за допомогою двох знаків (цифр) за позиційному принципом.
ЛІТЕРАТУРА
1. Фрінланд А.Я. Інформатика. - М., 2005.
2. Сидоров В.К. Системи числення. / / Наука і життя 2000. № 2.
3. Радюк Л. Алгоритм перекладу в двійкову і з двійкової системи числення. / / Наука і життя. 2005. № 1.
